Question

如圖，在五棱錐S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=

3

，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數值表示）；
（2）證明：BC⊥平面SAB．

Answer 1

分析：（1）連接BE，延長BC、ED交于點F，根據線面所成角的定義可知∠SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可．
（2）欲證BC⊥平面SAB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面SAB內兩相交直線垂直，而BC⊥BA，SA⊥BC，又SA∩BA=A，滿足定理所需條件．

解答：解：（1）連接BE，延長BC、ED交于點F，則∠DCF=∠CDF=60°，
∴△CDF為正三角形，∴CF=DF．
又BC=DE，∴BF=EF．因此，△BFE為正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=60°，∴BE∥CD
所以∠SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角．
∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SB=2

2

，同理SE=2

2

，
又∠BAE=120°，所以BE=2

3

，從而，cos∠SBE=

6

4

，
∴∠SBE=arccos

6

4

．
所以異面直線CD與SB所成的角是arccos

6

4

．
（2）由題意，△ABE為等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠ABE=30°，又∠FBE=60°，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，
∴BC⊥平面SAB．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．