Question

如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE；     
（2）求證：D₁E⊥A₁D；
（3）（文）求D₁E與平面A₁DE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）四邊形ADD₁A₁為正方形，O是AD₁的中點，點E為AB的中點，連接OE，所以EO為△ABD₁的中位線，從而有EO∥BD₁，利用線面平行的判定定理可證BD₁∥平面A₁DE；
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD₁A₁，從而可知AB⊥A₁D，所以A₁D⊥平面A₁DE，從而有A₁D⊥D₁E；
（3）利用等體積先求出D₁到平面A₁DE的距離，設D₁E與平面A₁DE所成角為α，利用正弦函數可求D₁E與平面A₁DE所成角．

解答：證明：（1）四邊形ADD₁A₁為正方形，O是AD₁的中點，點E為AB的中點，連接OE．
∴EO為△ABD₁的中位線
∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OE?平面A₁DE
∴BD₁∥平面A₁DE…（4分）
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AB⊥A₁D，
∵正方形AA₁D₁D
∴A₁D⊥AD₁，
AB∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
（3）（文科）∵S△A1D1D=

1

2

，AE=1，S△A1DE=

3

2

∴

1

3

×

1

2

×1=

1

3

×

3

2

×h
∴h=

3

3

∵D1E=

3

設D₁E與平面A₁DE所成角為α
∴sinα=

1

3

∴α=arcsin

1

3

…（6分）

點評：本題以面面垂直為載體，考查線面位置關系，考查線面角，綜合性強．