Question

已知等差數列{a_n}前n項和為S_n，且a₂=5，S₁₀=120．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）定義：稱

n

p1+2p2+…+2n-1pn

為n個正數p₁，p₂，…p_n的“權倒數”．若數列{b_n}的前n項的“權倒數”為

1

an

，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意可得a₂=a₁+d=5，S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=120，解方程組可得a₁和d，代入通項公式可得；
（2）由新定義可得b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（2n+1），當n≥2時，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1），兩式相減化簡即可．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由題意可得a₂=a₁+d=5，S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=120，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）由題意可得

n

b1+2b2+…+2n-1bn

=

1

an

，
∴

b1+2b2+…+2n-1bn

n

=a_n=2n+1，
即b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（2n+1）
故當n≥2時，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減可得2^n-1b_n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1，
∴b_n=

4n-1

2n-1

點評：本題考查等差數列的求和公式，讀懂新定義并轉化為數列問題是解決本題的關鍵，屬中檔題．