Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=

2

，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側面ABB₁A₁．
（I）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱錐C₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（I）利用△AOD∽△B₁OB，可求得OA、OD的長，根據勾股定理可證AB₁⊥BD，可證AB₁⊥平面CBD，從而可證線線垂直；
（II）由（1）知OC為三棱錐C-ABA₁的高，底面△ABA₁為直角三角形，利用三棱錐的換底性求得三棱錐的體積．

解答：解：（I）證明：由題意得BD=

AB2+AD2

=

6

2

，AB₁=

3

，
且△AOD∽△B₁OB，
∴

AO

OB1

=

DO

OB

=

AD

BB1

=

1

2

，∴OD=

1

3

BD=

6

6

，AO=

3

3

，
∵AO²+OD²=AD²，∴AB₁⊥BD，
又CO⊥側面ABB₁A₁，∴AB₁⊥CO，
又BD與CO交于點O，∴AB₁⊥面CBD，
又∵BC?面CBD，∴BC⊥AB₁．
（II）∵OC=OA=

3

3

，且A₁C₁∥平面ABC，
由（1）知OC為三棱錐C-ABA₁的高，
底面△ABA₁為直角三角形，
∴VC1-ABC =VC-ABA1=

1

3

S△ABA1×OC=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

3

3

=

6

18

．

點評：本題考查了棱錐的體積計算，考查了線面垂直的判定與性質，考查了面面垂直的判定，考查學生的空間想象能力與運算能力．