Question

（2006•西城區一模）已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為

（x-

5

）²+y²=1

，定點（3，0）與C上動點距離的最小值為

2

5

5

．

Answer 1

分析：①利用雙曲線的標準方程及其性質、點到直線的距離、圓的標準方程即可得出；
②利用兩點間的距離公式、二次函數的單調性即可得出．

解答：解：①雙曲線C：

x2

4

-y2=1，∴a²=4，b²=1，∴c=

a2+b2

=

5

，∴C的右焦點為（

5

，0），其漸近線方程為y=±

1

2

x．
右焦點（

5

，0）到其漸近線的距離d=

5

5

=1．
∴以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為(x-

5

)2+y2=1．
②設點P（x，y）（x≥2或x≤-2）為雙曲線C：

x2

4

-y2=1上的一個動點，則y2=

x2

4

-1．
∴定點（3，0）與C上動點P的距離d=

(x-3)2+y2

=

(x-3)2+ 1 4 x2-1

=

5 4 (x- 12 5 )2+ 4 5

≥

4 5

=

2 5

5

，當且僅當x=

12

5

，y2=

11

25

時取等號．
∴定點（3，0）與C上動點距離的最小值為

2 5

5

．
故答案分別為(x-

5

)2+y2=1，

2 5

5

．

點評：熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質、點到直線的距離、圓的標準方程、兩點間的距離公式、二次函數的單調性等是解題的關鍵．