Question

已知函數f（x）=x|x-2|．
（1）求作函數y=f（x）的圖象；
（2）寫出f（x）的單調區間，并指出在各個區間上是增函數還是減函數？（不必證明）
（3）已知f(x)=

1

4

，求x的值．

Answer 1

分析：（1）首先應該將絕對值函數化成分段函數，然后利用二次函數的性質，分段畫出函數的圖象；
（2）在函數圖象上得到函數的單調區間，分別指出增減函數區間即可；
（3）利用分段函數的解析式分段求出滿足f(x)=

1

4

，的x的值即可．

解答：解：：（1）當x≥2時，f（x）=x（x-2）=x²-2x，
當x＜2時，f（x）=-x（x-2）=-x²+2x，
即f（x）=

x2-2x      (x≥2) -x2+2x      (x＜2)

．
根據二次函數的作圖方法，可得函數圖象如圖．
（2）由圖可知：
單調區間為（-∞，1），（1，2），（2，+∞），
分別為增函數、減函數、增函數
（3）當x≥2時，f（x）=x（x-2）=

1

4

，解得x=1+

5

2

；
當x＜2時，f（x）=-x（x-2）=

1

4

，解得x=1+

3

2

，1-

3

2

．
∴x的值：x∈{1+

5

2

，1+

3

2

，1-

3

2

}．

點評：本題考查的是二次函數與絕對值綜合作圖的問題．在解答的過程當中充分體現了絕對值的知識、分段函數的思想、二次函數的性質．注意作圖時的規范．值得同學們體會和反思．