Question

（本題滿分10分） 如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝（>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，

設AE＝，綠地面積為.

（1）寫出關于的函數關系式，并指出這個函數的定義域;

（2）當AE為何值時，綠地面積最大？

 

Answer 1

【答案】

（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）

∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x

∴y＝－2x²＋（＋2）x，0<x≤2

（2）當，即<6時，則x＝時，y取最大值

當≥2，即≥6時，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函數，

  則x＝2時，y取最大值2－4

綜上所述：當<6時，AE＝時，綠地面積取最大值

當≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2－4

【解析】本題主要考查實際問題中的建模和解模能力，注意二次函數求最值的方法．

（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關于x的函數關系式；

（2）由（1）知y是關于x的二次函數，用二次函數求最值的方法求解．

（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）

∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x

∴y＝－2x²＋（＋2）x，0<x≤2

（2）當，即<6時，則x＝時，y取最大值

當≥2，即≥6時，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函數，

  則x＝2時，y取最大值2－4

綜上所述：當<6時，AE＝時，綠地面積取最大值

當≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2－4