Question

(本小題滿分15分)

已知是實數，是拋物線的焦點，直線．

（1）若,且在直線上，求拋物線的方程；

（2）當時，設直線與拋物線交于兩點，過

分別作拋物線的準線的垂線，垂足為，連

交軸于點，連結交軸于點．

①證明：⊥；

②若與交于點，記△、四邊形

、△的面積分別為，問

是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(本小題滿分15分)

解：（1）當時，直線過定點．

∴拋物線的方程是…………………………4分

  

 

（2）①設．聯立　，消去

，得，△…6分

由已知，，于是

同理⊥……………………9分

①方法二：

     由拋物線定義知，∵

              又∵         …………………5分

                   ……6分

             同理FB₁為BFO的平分線，A₁FB₁=90⁰           ……7分   

             又等腰AA₁F中，AM為中線，AMA₁F

             同理BNB₁F                             ……………8分

              AQB=90⁰即AMBN              ……………9分

 ②因，所以，，得∥.同理，∥，而⊥，∴四邊形是一個矩形．……………………11分

∴ ,而

……………………13分

假設存在實數使成立，則有

．

故存在實數，使成立．…………15分