Question

下列命題：
①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=0；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010）（x-2011），則g′（2011）=2010！；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中假命題為

①②④

．

Answer 1

分析：①利用復合函數的導數公式判斷．②先求導數，代入求值即可．③利用積的導數公式計算．④利用導數和極值之間的關系判斷．

解答：解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），①錯誤；
②h′（x）=4cos³x（-sinx）-4sin³xcosx=-4sinxcosx=-2sin2x，則h′（

π

12

）=-1，②錯；
③g（x）=[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010）]（x-2011），則g'（x）=[（x-1）…（x-2010）]'（x-2011）+[（x-1）…（x-2010）]，
所以g′（2011）=1×1×…2010=2010！所以正確．
④f′（x）=3ax²+2bx+c，△=4b²-12ac=4（b²-3ac），只需b²-3ac＞0即可，a+b+c=0是b²-3ac＞0的充分不必要條件，④錯．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查導數的基本運算，要求熟練掌握復合函數的導數公式．