Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求a與b滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）若a＞1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a＞3，函數(shù)g（x）=a²x²+3，若存在m₁，m2∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在x=1處取得極值，可得a與b滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定分類標準，從而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞3時，確定f（x）在[

1

2

，2]上的最大值，g（x）在[

1

2

，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，…（2分）
由f′（1）=0得b=1-a．                                      …（3分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），…（4分）
由（Ⅰ）可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

．
令f′（x）=0，則x₁=1，x₂=a-1．                            …（6分）
因為x=1是f（x）的極值點，所以x₁≠x₂，即a≠2．           …（7分）
所以當a＞2時，a-1＞1，

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a-1）．  …（8分）
當1＜a＜2時，0＜a-1＜1，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a-1，1）．  …（9分）
（Ⅲ）當a＞3時，f（x）在[

1

2

，1）上為增函數(shù)，在（1，2]為減函數(shù)，
所以f（x）的最大值為f（1）=2-a＜0．                          …（10分）
因為函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（x）的最小值為g（

1

2

）=

1

4

a²+3＞0．                   …（11分）
所以g（x）＞f（x）在[

1

2

，2]上恒成立．                            …（12分）
要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（

1

2

）-f（1）＜9，即

1

4

a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． …（13分）
又因為a＞3，所以a的取值范圍是（3，4）．                 …（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定分類標準，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．