Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分

已知曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有．

（1）若所在直線的方程為，求的值；

（2）若點為曲線上任意一點，求證：為定值；

（3）在（2）的基礎上，用類比或推廣的方法對新的圓錐曲線寫出一個命題，并對該命題加以證明．

Answer 1

解：（1）∵所在直線的方程為

由    可得     ∴…………2分

又  ∵  ∴  ∴所在直線的方程為，

同理可得……………4分

∴          ……………5分

（2）當點在軸上時，點在軸上，此時有，，           ……………6分

當點不在軸上時，設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、

由   可得， ∴ ……………8分

同理，由可得， ∴ ……………9分

∴為定值

……………11分

（3）根據所寫新命題的思維層次的不同情況分別進行評分

①已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有。求證：為定值。               ……………13分

證明：顯然、兩點都不能在軸上，

設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、

由   可得，  ……………14分

同理，由可得，

∴

……………15分

②已知橢圓的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有。求證：……………13分

證明：當點在軸上時，點在軸上，此時有，，                 ……………14分

當點不在軸上時，設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、

由   可得，  ……………15分

同理，由可得

， ……………16分

∴……………17分

③已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點，為坐標原點，且有，則當時，求證：……………14分

證明：顯然、兩點都不能在軸上，

設所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點的坐標分別為、

由   可得，  ……………15分

同理，由可得

， ……………17分

故……………18分