Question

已知函數f（x）=

x

1+x

，
（1）畫出f（x）的草圖；
（2）由圖象指出f（x）的單調區間；
（3）設a＞0，b＞0，c＞0，a+b＞c，證明：f（a）+f（b）＞f（c）．

Answer 1

分析：（1）化函數為f(x)=1-

1

x+1

，可知它是由反比例函數y=

-1

x

平移而得，作出反比例函數y=

-1

x

的草圖，再作相應的平移可得f（x）的草圖；
（2）根據（1）中圖象的特征，可得出函數的兩個單調增區間；
（3）根據函數f（x）的單調性，結合不等式的放縮，可以得出欲證的結論．

解答：解：（1）由f（x）=

x

1+x

得f（x）=1-

1

x+1

．
∴f（x）的圖象可由y=-

1

x

的圖象向左平移1個
單位，再向上平移1個單位得到如圖．

（2）解由圖象知（-∞，-1），（-1，+∞）均為f（x）的單調增區間．

（3）證明∵f（x）在（-1，+∞）為增函數，
∵

a

1+a

＞

a

1+a+b

＞0 ，

b

1+b

＞

b

1+a+b

＞0，a+b＞c＞0，
∴f（a）+f（b）=

a

1+a

+

b

1+b

＞

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

，
而f（c）=

c

1+c

，
∴f（a）+f（b）＞f（c）．

點評：本題考查了函數的圖象與單調性的理解，同時還考查了用放縮法證明不等式，屬于中檔題．