Question

11．定義在R上的函數f（x），其周期為4，且當x∈[-1，3]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
（1）畫出函數在x∈[-1，3]的簡圖
（2）若函數g（x）=f（x）-kx-k恰有4個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知中函數的解析式，可得函數在x∈[-1，3]的簡圖
（2）若函數g（x）=f（x）-kx-k恰有4個零點，即函數f（x）與y=kx+k的圖象有四個交點，數形結合可得答案．

解答 解：（1）∵當x∈[-1，3]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}}&{x∈[-1，1]}\\{1-|x-2|}&{x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
∴函數在x∈[-1，3]的簡圖如下圖：

（2）若函數g（x）=f（x）-kx-k恰有4個零點，
即函數f（x）與y=kx+k的圖象有四個交點，
由y=kx+k的圖象恒過（-1，0）點，
當y=kx+k的圖象過（2，1）點時，k=$\frac{1}{3}$，
當y=kx+k的圖象與半圓y=$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$相切時，k=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
故當k∈（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{3}$）時，即函數f（x）與y=kx+k的圖象有四個交點，
即函數g（x）=f（x）-kx-k恰有4個零點．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，分段函數的應用，函數的零點，數形結合思想，難度中檔．