Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D，E，F分別為AB₁，CC₁，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的大小．

Answer 1

分析：（1）取AA₁，的中點G，連接DG，EG，根據三角形中位線定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性質得到DE∥平面ABC；
（2）根據等腰三角形三線合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性質定理和線面垂直的性質定理可得B₁F⊥AF；由勾股定理可得B₁F⊥EF，最后由線面垂直的判定定理得到B₁F⊥平面AEF．
（3）以A為坐標原點，分別以AB，AC，AA₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面B₁AE和平面AEF的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）取AA₁，的中點G，連接DG，EG
∵D，E為AB₁，CC₁的中點，
則DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）連結AF，則AF⊥平面BCC₁B₁．
∵AB=AC，F為BC的中點
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁為直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁．
又∵平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
又∵B₁F?平面BCC₁B₁，
∴B₁F⊥AF，
在△B₁FE中，B₁F=

6

2

AB，B₁=

3

2

AB，EF=

3

2

AB
由勾股定理易得B₁F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF．
（3）以A為坐標原點，分別以AB，AC，AA₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則

B1F

=（-

1

2

，

1

2

，-1）為平面AEF的法向量．
又

AB1

=（1，0，1），

AE

=（0，1，

1

2

），
設平面B₁AE的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB1 =0 n • AE  =0

，即

x+z=0 y+ 1 2 z=0

取z=-1，則

n

=（1，

1

2

，-1），從而
cosθ=

6

6

，
即二面角B₁-AE-F是arccos

6

6

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的求法，熟練掌握空間線面關系判定的方法和步驟是解答（1）（2）的關鍵．建立空間坐標系將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答（3）的關鍵．