Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)0≤a＜

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

，
由f'（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]．
（2）因?yàn)閒（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，
令g（x）=ax²-x+1-a，（x＞0），
①若a=0，g（x）=-x+1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
②若0＜a＜

1

2

時(shí)，由f'（x）=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1，
此時(shí)

1

a

-1＞1＞0，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，

1

a

-1）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（

1

a

-1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）和[

1

a

-1，+∞），單調(diào)增區(qū)間是[1，

1

a

-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．