Question

（2013•浙江模擬）已知直線(xiàn)y=k（x-m）與拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，又OD⊥AB于D，若動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x²+y²-4x=0，則m=

4

．

Answer 1

分析：設(shè)出D的坐標(biāo)，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x²+y²-4x=0，確定x的值，代入

k2(x-m)

x

=-1，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵D在直線(xiàn)y=k（x-m），∴可設(shè)D坐標(biāo)為（x，k（x-m）），∴OD的斜率k'=

k(x-m)

x

∵OD⊥AB，AB的斜率為k，
∴有k•k'=

k2(x-m)

x

=-1，即k（x-m）=-

x

k

．
又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿(mǎn)足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
將k（x-m）=-

x

k

代入可解得x=

4k2

k2+1

，
代入到

k2(x-m)

x

=-1，化簡(jiǎn)得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
由于k²+1不可能等于0，∴只有4-m=0，∴m=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．