Question

已知等差數列{a_n}的前3項和為6，前8項和為-4．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（4-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，根據等差數列的求和公式表示出前3項和前8項的和，求的a₁和d，進而根據等差數列的通項公式求得a_n．
（2）根據（1）中的a_n，求得b_n，進而根據錯位相減法求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，
由已知得

3a1+3d=6 8a1+28d=-4

解得a₁=3，d=-1
故a_n=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，b_n=n•q^n-1，于是
S_n=1•q⁰+2•q¹+3•q²+…+n•q^n-1．
若q≠1，將上式兩邊同乘以q，得
qS_n=1•q¹+2•q²+3•q³+…+n•qⁿ．
將上面兩式相減得到
（q-1）S_n=nqⁿ-（1+q+q²+…+q^n-1）
=nqⁿ-

qn-1

q-1

于是S_n=

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

若q=1，則S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

所以，S_n=

nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2 (q≠1) n(n+1) 2 (q=1)

．

點評：本小題主要考查數列的基礎知識和劃歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．