Question

已知函數(shù).（為常數(shù),）
（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的，總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：.
（Ⅰ）由已知，得 且，，，.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，,,
當(dāng)時(shí)，.又，
，故在上是增函數(shù).  
（Ⅲ）時(shí)，由（Ⅱ）知，在上的最大值為，
于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立.
記，（）
則，
當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上遞減，此時(shí)，，
由于，時(shí)不可能使恒成立，故必有,
.
若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有，與恒成立矛盾，故，這時(shí)，，在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，，即，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

略