Question

12、已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₁，a₃，a₁₁成等比數列，則數列{a_n}的通項為

a_n=3n-1

．

Answer 1

分析：根據所給的含有前n項和與項的關系式，仿寫一個式子，兩個式子相減，得到兩項之間的關系，得到數列是一個等差數列，求出首項，根據三項成等比數列，去掉不合題意的首項，得到通項．

解答：解：∵6S_n=a_n²+3a_n+2，①
∴6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1+2，②
②-①得到6a_n+1=a_n+1²+3a_n+1-a_n^2-3a_n
∴3（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
∵正項數列{a_n}，
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1+a_n=0
∴數列是一個公差為3的等差數列，
∵6a₁=a₁²+3a₁+2
∴a₁=1或2，
∵a₁，a₃，a₁₁成等比數列
∴當a₁=1時，1，7，31不成等比數列，
首項等于2時，2，8，32成等比數列，
∴首項等于2，
∴數列的通項是a_n=3n-1
故答案為：a_n=3n-1

點評：本題考查求數列的通項，本題解題的關鍵是仿寫一個式子，兩個式子相減得到只含有通項的式子，在仿寫的時候注意仿寫一個n+1的式子，不然要討論n的取值．