Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0；
（1）若直線l過P（-2，2）且與圓C相切，求直線l的方程．
（2）是否存在斜率為1直線l′，使直線l′被圓C截得弦AB，以AB為直徑的圓經過原點O．若存在，求出直線l′的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設切線方程，利用直線與圓相切，由圓心到直線的距離等于半徑解出k值，從而得到直線l的方程；
（2）假設所求直線存在，將條件以AB為直徑的圓經過原點O，轉化為OA⊥OB．通過聯立方程可求．

解答：解：（1）圓C可化為：（x-1）²+（y+2）²=9?圓心：C（1，-2）；半徑：r=3
①當l斜率不存在時：l：x=-2，滿足題意（2分）
②當l斜率存在時，設斜率為k，則：l：y-2=k（x+2）?kx-y+2k+2=0
則：d=

|k+2+2k+2|

k2+1

=3?k=-

7

24

故：l：7x+24y-34=0（3分）
綜上之：直線l的方程：x=-2或7x+24y-34=0（1分）
（2）設直線l的方程為y=x+b，代入圓的方程x²+（x+b）²-2x+4（x+b）-4=0．即2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0．（*）以AB為直徑的圓過原點O，則OA⊥OB．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0．
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
由（*）式得x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=

b2+4b-4

2

∴b²+4b-4+b•（-b-1）+b²=0．
即b²+3b-4=0，∴b=-4或b=1．
將b=-4或b=1代入*方程，對應的△＞0．
故存在直線l：x-y-4=0或x-y+1=0．

點評：本題考查用待定系數法求圓的方程以及直線方程的方法，體現了分類討論的數學思想．本題隱藏著OA⊥OB．OA這一條件，由OA⊥OB．OA得到 x₁x₂+y₁y₂=0，是本題的“題眼”所在，由此根據這一重要信息點，采用“設而不求”法為解題帶來了快捷效應．除此之外，還應對求出的 值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點A、B存在．