Question

已知f(x)＝log_mx(m為常數(shù)，m＞0且m≠1)．設(shè)f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)(n∈N₊)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)若b_n＝a_n·f(a_n)，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，當(dāng)時(shí)，求S_n；

(Ⅲ)若c_n＝a_nlga_n，問是否存在m，使得{c_n}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由題意即 　　∴　　2分 　　∴　∵m＞0且，∴m2為非零常數(shù)， 　　∴數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng)，m2為公比的等比數(shù)列　　4分 　　(Ⅱ)由題意， 　　當(dāng) 　　∴①　　6分 　　①式兩端同乘以2，得 　　②　　7分 　　②－①并整理，得 　　 　　 　　＝ 　　 　　　　10分 　　(Ⅲ)由題意 　　要使對一切成立， 　　即對一切成立， 　　①當(dāng)m＞1時(shí)，成立；　　12分 　　②當(dāng)0＜m＜1時(shí)， 　　∴對一切成立，只需， 　　解得，考慮到0＜m＜1，∴0＜m＜ 　　綜上，當(dāng)0＜m＜或m＞1時(shí)，數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)．　　14分