【題目】已知F1、F2是橢圓
的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，且滿足
（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
若橢圓的離心率等于
（1）求直線AB的方程；
（2）若三角形ABF2的面積等于
，求橢圓的方程．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
試題（1）橢圓的離心率等于
，所以
，代入橢圓方程得：
，又由
，從而求點(diǎn)
，再根據(jù)直線
過(guò)原點(diǎn)，即可寫出直線
的方程；（2）連結(jié)
，由橢圓的對(duì)稱性可知
，再有三角形等底等高知
，所以
，又由
，解得
，所以橢圓的方程為
．
試題解析：（1）由
知，由直AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又由
，因?yàn)闄E圓的離心率等于
，所以
，故橢圓方程
設(shè)A （x，y），由
，知x = c，∴A （c，y），
代入橢圓方程得
，
故直線AB的斜率
因此直線AB的方程為
（2）連結(jié)AF1、BF1、AF2、BF2，由橢圓的對(duì)稱性可知
，
所以
，
又由
，解得
，
故橢圓的方程為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器。現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺(tái)數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)，
），以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ）若
，求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
是直角梯形， 
， 
， 
底面
， 
， 
， 
是
的中點(diǎn)．
（1）求證：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值為
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】
已知拋物線
的焦點(diǎn)為
，
為
上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線
交于另一點(diǎn)
，交
軸的正半軸于點(diǎn)
，且有
.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
時(shí)，
為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線
，且
和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
，
（ⅰ）證明直線
過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）
的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，點(diǎn)
是直線
上的動(dòng)點(diǎn)，
為定點(diǎn)，點(diǎn)
為
的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)
滿足
，且
，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)
的直線交曲線于
，
兩點(diǎn)，
為曲線上異于，的任意一點(diǎn)，直線
，
分別交直線
于
，
兩點(diǎn).問(wèn)
是否為定值？若是，求的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，
，過(guò)
垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于
、
兩點(diǎn)，且
.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)過(guò)的直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
、
，則
的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖所示，在四面體
中，
，平面
平面
，
，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）設(shè)
為棱
的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角
的余弦值.
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