Question

在數列{a_n}中，如果存在正整數T，使得a_n+T=a_n對于任意正整數n均成立，那么就稱數列{a_n}為周期數列，其中T叫做數列{a_n}的周期．已知數列{x_n}滿足xn+2=|xn+1-xn|(x∈N*)，若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），當數列{x_n}的周期為3時，則數列{x_n}的前2014項的和S₂₀₁₄為（　　）

Answer 1

分析：利用x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*）．可得x₃=|x₂-x₁|=1-a．x₄=|x₃-x₂|=|1-2a|，再利用周期為3可得x₄=x₁，a≠0，于是2a-1=1，解得a，可得x₁+x₂+x₃=1+a+1-a=2．再利用周期性可求數列{x_n}的前2014項的和S₂₀₁₄．

解答：解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，又數列{x_n}的周期為3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，∴a=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2；
又x₂₀₁₄=x₁=1，2014=671×3+1，
∴S₂₀₁₄=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄
=671×（1+1+0）+1
=1343．
故選D．

點評：本題考查數列的求和，著重考查函數的周期性，得到相鄰三項之和為2是關鍵，屬于中檔題．