Question

【題目】已知圓與軸交于兩點，且（為圓心），過點且斜率為的直線與圓相交于兩點

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若，求的取值范圍；

（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標原點），求的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標和；根據、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結果；（Ⅱ）設直線方程為；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構造不等式求得結果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯立，根據直線與圓有兩個交點可根據得到的取值范圍；設，，利用韋達定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關于的方程，解方程求得滿足取值范圍的結果.

（Ⅰ）由圓得：

圓心，

由題意知，為等腰直角三角形

設的中點為，則也為等腰直角三角形

，解得：

（Ⅱ）設直線方程為：

則圓心到直線的距離：

由，，可得：，解得：

的取值范圍為：

（Ⅲ）聯立直線與圓的方程：

消去變量得：

設，，由韋達定理得：

且，整理得：

解得：或

，

與向量共線， ，

解得：或

不滿足