Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
(Ⅰ)證明：MN∥平面ACC₁A₁；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。

Answer 1

解：依條件可知AB，AC，AA1兩兩垂直，如圖， 以點A為原點建立空間直角坐標系A-xyz， 根據條件容易求出如下各點坐標： A(0，0，0)，B(0，2，0)， C(-1，0，0)，A1(0，0，2)，， ， (Ⅰ)證明：∵是平面ACC1A1的一個法向量， 且，所以， 又∵平面ACC1A1， ∴MN∥平面ACC1A1。 (Ⅱ)設n=（x，y，z）是平面AMN的法向量， 因為， 由，得， 解得平面AMN的一個法向量為n=（4，2，-1）， 由已知，平面ABC的一個法向量為m=（0，0，1）， ， ∴二面角M-AN-B的余弦值是。