Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線x2-

y2

2

=1的左右焦點(diǎn)．若P在雙曲線上，且

PF1

•

PF2

=1，則|

PF1

+

PF2

|的長(zhǎng)為（　�。�

• A．2

  2

• B．8
• C．4
• D．2

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．由

PF1

•

PF2

=1利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，算出x²+y²=4．根據(jù)O為F₁F₂的中點(diǎn)得

PF1

+

PF2

=2

PO

，再利用向量模的公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：∵雙曲線x2-

y2

2

=1中，a²=1，b²=2，
∴c=

a2+b2

=

3

，得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．
設(shè)P（x，y），可得

PF1

=（x+

3

，y），

PF2

=（x-

3

，y），
∴

PF1

•

PF2

=（x+

3

）（x-

3

）+y²=（x²+y²）-3，
∵

PF1

•

PF2

=1，∴（x²+y²）-3=1，解得x²+y²=4．
∵O為F₁F₂的中點(diǎn)，∴

PF1

+

PF2

=2

PO

，
可得|

PF1

+

PF2

|=2|

PO

|=2

x2+y2

=4
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上的點(diǎn)P滿足的向量等式，求

PF1

+

PF2

的模．著重考查了向量的數(shù)量積公式、向量模的公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．