Question

在△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差數列，則△ABC面積的最大值為

9

3

．

Answer 1

分析：由題意可得a=6，b+c=2a=12，利用余弦定理可得bc=

54

1+cosA

≤(

b+c

2

)2=36，從而可求得cosA≥

1

2

，0＜A≤

π

3

，而由正弦定理可求得S_△ABC=27tan

A

2

≤9

3

．

解答：解：∵△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差數列，
∴a=6，b+c=2a=12，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴2bc（1+cosA）=144-36=108，
∴bc=

54

1+cosA

≤(

b+c

2

)2=36（當且僅當b=c=6時取“=”），
∴cosA≥

1

2

，又0＜A＜π，
∴0＜A≤

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA
=

1

2

•

54

1+cosA

×sinA
=27×

sinA

1+cosA

=27tan

A

2

≤27tan

π

6

=9

3

，
故答案為：9

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理，考查基本不等式，考查等差數列的性質，得到0＜A≤

π

3

是關鍵，也是難點，屬于難題．