Question

已知函數f（x）=x-x^-1，若不等式f（2^x+3+2^a）＜f（4^x+1+2^2a-1）對任意x都成立，則實數a的取值范圍是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函數的定義域和導數，再由導數值的符號判斷出函數的單調性，再把不等式轉化為“2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1對任意x都成立”，再換元：t=2^a代入后分離出t后，再構造函數y=-4•2^2x+8•2^x，把“2^x”作為一個整體，利用配方法和二次函數的性質求出最小值，再求出a的范圍．

解答：解：由題意得，函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
f′（x）=1+x^-2=

x2+1

x2

＞0，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增，
∵f（2^x+3+2^a）＜f（4^x+1+2^2a-1）對任意x都成立，
且2^x+3+2^a＞0，4^x+1+2^2a-1＞0，
∴2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1對任意x都成立，
設t=2^a，則t＞0，代入2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1得，
2^x+3+t＜4^x+1+

1

2

•t²，
即

1

2

t²-t＞2^x+3-4^x+1=-4•2^2x+8•2^x對任意x都成立，
令y=-4•2^2x+8•2^x=-4（2^x-1）²+4≤4，且2^x＞0，
∴

1

2

t²-t＞4，解得t＞4或t＜-2（舍去），
∴2^a＞4，解得a＞2，
綜上得，實數a的取值范圍是（2，+∞），
故答案為（2，+∞）．

點評：本題考查了利用導數判斷函數的單調性，二次函數的性質，考查了分離常數法處理恒成立成立問題，以及配方法和換元法，涉及的方法多，注意總結和靈活應用．