Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的單調遞增區間；
（2）如果函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數b的取值范圍；
（3）求證對任意的n∈N^*，不等式恒成立

Answer 1

【答案】分析：（1）首先考慮函數的定義域，然后求出導函數=0時的值，討論導數大于小于0時函數的遞增遞減區間即可；
（2）由題意可知導函數等于0時在（-1，+∞）有兩個不等實根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，設g（x）=2x²+2x+b=0，然后討論根的判別式大于0即g（-1）大于0得到b的范圍即可；
（3）設h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）求出導函數推出導函數大于0函數為遞增函數，令h（0）=0則恒有h（x）＞h（0）即x²＜x³+ln（x+1）恒成立，然后令x=得證．
解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞），b=-12時，
由，得x=2（x=-3舍去），
當x∈（-1，2）時，f'（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，
所以當x∈（2，+∞）時，f（x）單調遞增．
（2）由題意在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設g（x）=2x²+2x+b，則，
解之得
（3）對于函數f（x）=x²-ln（x+1），令函數h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則，當x∈[0，+∞）時，h'（x）＞0，
所以函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．取，
則有恒成立．
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求函數極值的能力，理解函數恒成立條件的能力．