Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：
（I）求證：PA⊥BD；
（II）連接AC、BD交于點O，在線段PD上是否存在一點Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）證明：由三視圖可知P-ABCD為正四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD，
連接AC、BD交于點O，連接PO．

∵BD⊥AC，BD⊥PO，
∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥PA．
（II）由三視圖可知斜高為

，BC=2，PA=2，假設存在這樣的點Q，
∵AC⊥OQ，AC⊥OD，又OQ∩OD=0，
∴AC⊥平面ODQ，過Q作QM⊥OD于M，則QM⊥平面ABCD，
∴∠DOQ為直線OQ與平面ABCD所成的角
在△POD中，PD=2，OD=，則∠PDO=60o，
在△DQO中，∠PDO=60o，且∠QOD=30o．
∴DP⊥OQ．
∴QD=． =．
∴存在Q點，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°，=．
分析：（I）根據線面垂直證明線線垂直即可；
（II）假設存在，先作出直線與平面所成的角，根據所成角的大小確定Q點的位置即可．
點評：本題考查根據三視圖求直線與平面所成的角及直線與平面垂直的判定．正確運用三視圖的數據是解答本題的關鍵．