Question

20.給定有限個正數滿足條件T：每個數都不大于50且總和L=1275.現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大于150且分組的步驟是：

首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；

然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為r₂;如此繼續構成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、…,直至第N組（余差為r_N）把這些數全部分完為止.

（Ⅰ）判斷r₁,r₂,…,r_N的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數；

（Ⅱ）當構成第n（n＜N）組后，指出余下的每個數與r_n的大小關系，并證明r_n－1＞;

（Ⅲ）對任何滿足條件T的有限個正數，證明：N≤11.

Answer 1

20.本小題主要考查不等式的證明等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

解：（Ⅰ）r₁≤r₂≤…≤r_N.除第N組外的每組至少含有=3個數.

 （Ⅱ）當第n組形成后，因為n＜N,所以還有數沒分完，這時余下的每個數必大于余差r_n.余下數之和也大于第n組的余差r_n,即

L－［（150－r₁）+（150－r₂）+…+（150－r_n）］＞r_n,

由此可得r₁+r₂+…+r_n－1＞150n－L.

因為（n－1）r_n－1≥r₁+r₂+…+r_n－1,所以r_n－1＞.

  （Ⅲ）用反證法證明結論.假設N＞11,即第11組形成后，還有數沒分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每個數都大于第11組的余差r₁₁,且r₁₁≥r₁₀,

故　余下的每個數＞r₁₁≥r₁₀＞=37.5.           （*）

因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大于37.5×3=112.5.

此時第11組的余差r₁₁=150－第11組數之和＜150－112.5=37.5,

這與（*）式中r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11.