Question

17．在△ABC中，$∠A=\frac{π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，則△ABC的周長為（　　）

• A． $4\sqrt{3}+8\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$
• B． $4\sqrt{3}+8sin（B+\frac{π}{3}）$
• C． $4\sqrt{3}+8\sqrt{3}cos（B+\frac{π}{6}）$
• D． $4\sqrt{3}+8cos（B+\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 由正弦定理可得$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，利用三角函數恒等變換的應用，三角形內角和定理，化簡即可得解．

解答 解：∵$∠A=\frac{π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，
∴△ABC的周長=BC+AB+AC=4$\sqrt{3}$+8sinC+8sinB
=4$\sqrt{3}$+8sin（$\frac{2π}{3}$-B）+8sinB
=4$\sqrt{3}$+8（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB）
=4$\sqrt{3}$+8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．