Question

如圖，在多面體ECABD中，EC⊥平面ABC，DB∥EC，△ABC為正三角形，F(xiàn)為EA的中點(diǎn)，EC=AC=2，BD=1．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求多面體ECABD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）作AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO．由已知得四邊形FOBD為平行四邊形，由此能證明DF∥面ABC．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由已知得平面ECBD⊥平面ABC，AH⊥面ECBD，由此能求出多面體ECBD的體積．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：作AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO．
在△AEC中，F(xiàn)O

∥

.

1

2

EC，又據(jù)題意知，BD

∥

.

1

2

EC．
∴FO

∥

.

BD，∴四邊形FOBD為平行四邊形．
∴DF∥OB，又DF?面ABC，OB?平面ABC．
∴DF∥面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：據(jù)題意知，多面體ECABD為四棱錐A-ECBD．
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．
∵EC⊥平面ABC，EC?平面ECBD，
∴平面ECBD⊥平面ABC．
又AH⊥BC，AH?平面ABC，平面ECBD∩平面ABC=BC，
∴AH⊥面ECBD．
∴在四棱錐A-ECBD中，底面為直角梯形ECBD，高AH=

3

．
∴V_A-ECBD=

1

3

×

(2+1)×2

2

×

3

=

3

．
∴多面體ECBD的體積為

3

．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查多面體的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．