Question

在數列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）設．證明：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理a_n+1=3a_n+3ⁿ，得，進而可知b_n+1=b_n+1根據等差數列的定義推斷出數列{b_n}是等差數列；
（2）根據（1）中的{b_n}的首項和公差求得b_n，進而根據求得a_n，利用錯位相減法求得數列的前n項的和．
解答：解：（1）a_n+1=3a_n+3ⁿ，
∴，于是b_n+1=b_n+1，
∴{b_n}為首項與公差均為1的等差數列．
又由題設條件求得b₁=1，故b_n=n，
由此得
∴a_n=n×3ⁿ．
（2）S_n=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
兩式相減，得2S_n=n×3ⁿ⁺¹-（3¹+3²+…+3ⁿ），
解出．
點評：本題主要考查了等差關系的確定及數列的求和．對于由等比和等差數列構成的數列求和時，可采用錯位相減法．