Question

設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，左右頂點分別為A₁，A₂，過F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線相交于P，若P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為______．

Answer 1

假設過焦點F（c，0）與漸近線y=-

b

a

x平行的直線y=-

b

a

(x-c)與漸近線y=

b

a

x相交，
聯立

y=- b a (x-c) y= b a x

，解得

x= c 2 y= bc 2a

，得到P(

c

2

，

bc

2a

)，
∵若P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上x²+y²=a²，
∴(

c

2

)2+(

bc

2a

)2=a²，化為c²a²+b²c²=4a⁴，即c⁴=4a⁴，化為c²=2a²．
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

2

．
則雙曲線的離心率為

2

．
故答案為

2

．