Question

（本小題滿分16分）二次函數的圖像頂點為，且圖像在x軸上截得線段長為8

（1）求函數的解析式；

（2）令

①若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍；

②求函數在的最大值。

Answer 1

（1）;（2）①②函數在的最大值為

【解析】

試題分析：第一步由于函數的圖像頂點為，可設二次函數的頂點式，圖像在x軸上截得線段長為8，列方程求出，得到函數的解析式即可；第二步先寫出的表達式，①由函數在上是單調函數，只需的圖象（拋物線）的對稱軸在的左側或右側；②由于圖象拋物線的對稱軸為直線，針對對稱軸在區間的三種位置關系進行討論，求出函數在的最大值，并用分段函數表示之 .

試題解析：（1）由條件設二次函數

令，得

∵圖象在x軸上截得線段長為8，

有，又

∴函數的解析式為.

（2）①∵

∴

而函數在上是單調函數

又對稱軸，

有

所以實數a的取值范圍是

②，

對稱軸，

當a＜0時，

當0≤a≤2時，

當a＞2時，

綜上所述：函數在的最大值為

考點：1.待定系數法求函數的解析式；2.二次函數的單調性；3.二次函數的最值；4.分裂討論思想