Question

(2007北京海淀模擬)如圖所示，，兩點分別在射線OS、OT上移動，且，O為坐標原點，動點P滿足．

(1)求m·n的值；

(2)求點P的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線；

(3)若直線l過點E(2，0)交(2)中曲線C于M、N兩點(M、N、E三點互不相同)，且，求l的方程．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由已知得． ，∴． (2)設P點坐標為(x，y)(x＞0)， 由得 消去m，n可得，又因， ∴P點的軌跡方程為， 它表示以坐標原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線的右支． (3)設直線l的方程為x=ty＋2，將其代入C的方程得， 即． 易知(否則，直線l的斜率為．它與漸近線平行，不符合題意)． ． 設，， 則，． ∵l與C的兩個交點M，N在y軸的右側， ， ，又∵t=0不合題意， ． 又由，同理可得． 由得 ． 由， 得． 由． 得． 消去，得． 解之得，滿足． 故所求直線l存在，其方程為或．