Question

（2012•江蘇二模）定義在區間[a，b]的長度為b-a，用[x]表示不超過x的最大整數．設f（x）=[x]（x-[x]），g（x）=x-1，則0≤x≤2012時，不等式f（x）≤g（x）的解集的區間長度為

2011

．

Answer 1

分析：根據0≤x≤2012，分兩種情況考慮：當0≤x＜1時，[x]=0，可得出x-1小于0，進而確定出f（x）=0，g（x）小于0，進而得到此時f（x）大于g（x），不合題意；當1≤x≤2012時，假設n≤x＜n+1，則[x]=n，表示出f（x），利用作差法判斷出f（x）-g（x）的符合為負，可得出不等式f（x）≤g（x）的解集，即可求出解集的區間長度．

解答：解：當0≤x＜1時，[x]=0，x-1＜0，
∴f（x）=0，g（x）=x-1＜0，即f（x）＞g（x），不合題意；
當1≤x≤2012時，假設n≤x＜n+1，則[x]=n，
∴f（x）=n（x-n），又g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＜（n-1）（n+1）-n²+1=0，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為[1，2012]，
則不等式f（x）≤g（x）的解集的區間長度為2012-1=2011．
故答案為：2011

點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了分類討論及轉化的思想，是一道綜合性較強的試題．