Question

甲、乙倆人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為．
（Ⅰ）記甲擊中目標的次數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多擊中目標2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得甲擊中目標的次數ξ為0、1、2、3，根據獨立重復試驗公式得到變量對應的概率，當變量為0時表示沒有擊中目標，當變量為1時表示擊中目標1次，當變量為2時表示擊中目標2次，當變量為3時表示擊中目標3次，寫出分布列和期望．
（2）乙至多擊中目標2次的對立事件是乙能擊中3次，由對立事件的概率公式得到要求的概率．
（3）甲恰比乙多擊中目標2次包含甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次和甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次，且這兩種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式得到結果．
解答：解：（I）由題意得甲擊中目標的次數ξ為0、1、2、3，
根據獨立重復試驗公式得到變量對應的概率，
當變量為0時表示沒有擊中目標，
當變量為1時表示擊中目標1次，
當變量為2時表示擊中目標2次，
當變量為3時表示擊中目標3次，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的概率分布如下表：

Eξ=O•+1•+2•+3•=1.5，（或Eξ=3•=1.5）；

（II）乙至多擊中目標2次的對立事件是乙能擊中3次，
有對立事件的概率公式得到
概率為1-=；

（III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B₁，
甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件B₂，
則A=B₁+B₂，
B₁，B₂為互斥事件P（A）=P（B₂）=•+•=
∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．