Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體的中點(diǎn)，P為BB₁的中點(diǎn).

（I）求證：；

（II）求證；

（III）求異面直線所成角的大小.

   

Answer 1

解法一：（I）連結(jié)BC₁

由正方體的性質(zhì)得BC₁是BD₁在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影，，

所以

 (Ⅱ) 連接BD，AC

由正方體的性質(zhì)得BD是BD₁在平面ABCD內(nèi)的攝影，  且AC⊥BD                       

∴BD₁⊥AC

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，

∴MN//AC       則BD₁⊥MN.  

同理可得BD₁⊥PM又，

 

（III）延長(zhǎng)

 

由于正方體的棱長(zhǎng)為2，

即異面直線所成角的大小為arccos.                

解法二：（I）如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則B（2，2，0），C（0，2，0）

B₁（2，2，2），D­₁（0，0，2）.

  

 

（II），

.

（III），

                          

即異面直線所成角的大小為arccso