Question

已知等比數列{a_n}各項均為正數，且a₁+a₂=20，a₃=64，設bn=

1

2

log2an．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₁+a₂=20，a₃=64，可把a₁，a₂，a₃均用a₁和q表示，求出a₁和q，再代入等比數列的通項公式即可．
（2）根據b_n=

1

2

log₂a_n和（Ⅰ）中所求數列{a_n}的通項公式，可求出數列{b_n}的通項公式，代入利用裂項求和即可求出

解答：解：：（Ⅰ）因為數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₁+a₂=20，a₃=64，
所以

a1(1+q)=20 a1q2=64

解得a₁=4，q=4
∴a_n=4ⁿ，bn=

1

2

log2an=n
（2）∵Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

點評：本題考查了等比數列通項公式的求法，以及等差數列的前n項和公式的應用，及裂項求和方法的應用，屬必須掌握的內容．