Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意的實數x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），且f（x）≠0．
（Ⅰ）請寫出一個這樣的函數f（x）；
（Ⅱ）若f（x）滿足：當x＜0時，f（x）＞1，猜想函數f（x）的性質，并加以證明；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求滿足f（x+4）＞

1

f(x)

的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），可知此函數可以為指數函數f（x）=2^x；
（Ⅱ）根據條件和指數函數的性質列出f（x）的幾個性質，利用恒等式和單調性的定義進行證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和恒等式，將不等式化為：f（x+4+x）＞f（0），再根據函數的單調性得到具體的不等式，求出x的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴滿足條件函數可以是指數函數y=a^x（a＞0且a≠1），如f（x）=2^x；
（Ⅱ）類比指數函數的性質得出f（x）的幾個性質：
①函數f（x）的圖象過定點（0，1）；②f（x）值域是（0，+∞）；
③函數f（x）在R上是減函數．
證明：①由于f（x）=f（x+0）=f（x）f（0），而f（x）≠0，則f（0）=1；
②由于f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f（

x

2

）f（

x

2

）=f2(

x

2

)≥0，而f（x）≠0，則f（x）＞0；
③任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵當x＜0時，f（x）＞1，∴f（x₁-x₂）＞1，
又∵函數f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）f（x₁-x₂）＞f（x₂），
則f（x）為R上的減函數，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，f（0）=1，
∵f（x+4）＞

1

f(x)

，且f（x）＞0，
∴f（x+4）f（x）＞1，即f（x+4+x）＞f（0），
∵f（x）為R上的減函數，
∴x+4+x＜0，解得x＜-2．

點評：本題考查抽象函數的性質及其應用，以及賦值法求函數的值，指數函數的性質等，靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．