Question

(10分)選修4－1：幾何證明選講.

已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是的平分線交AE于點F，交AB于D點.

 (1) 求的度數；

 (2) 若AB=AC，求AC:BC.

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)

【解析】本題考查的知識點是圓周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的證明及性質等，本題中未給出任何角的度數，故建立∠ADF必為特殊角，從而根據圖形分析角∠ADF的大小，進而尋出解答思路是解題的關鍵．

（I）根據AC為圓O的切線，結合弦切角定理，我們易得∠B=∠EAC，結合DC是∠ACB的平分線，根據三角形外角等于不相鄰兩個內角的和，我們易得∠ADF=∠AFD，進而結合直徑所對的圓周角為直角，求出∠ADF的度數；

（II）若AB=AC，結合（1）的結論，我們易得∠ACB=30°，根據頂角為120°的等腰三角形三邊之比為：1：1： 3，易得答案．

解：AC為圓O的切線,∴又知,DC是的平分線,

∴  ∴

即   又因為BE為圓O的直徑, ∴

∴

(2),,∴∽∴

又AB=AC, ∴,

∴在Rt⊿ABE中,