Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求證：{lga_n}是等差數列；
（2）設對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得a₂的值，進而求得的值，進而看當n≥2時，根據a_n=S_n-S_n-1求得判斷出數列為等比數列，進而根據等比數列的性質求得a_n，進而分別表示出lga_n和lga_n+1，根據lga_n+1-lga_n=1，判斷出lga_n}n∈N^*是等差數列．
（2）根據（1）中求得a_n利用裂項法求得T_n，進而根據3-≥，進而根據求得m的范圍．判斷出m的最大正整數．
解答：解：（1）依題意，，
當n≥2時，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：為等比數列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n∴lga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差數列．
（2）由（1）知，
=∴，
依題意有，
故所求最大正整數m的值為5．
點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．考查了學生對數列基礎知識的綜合把握．