Question

如圖，傾斜角為α的直線經過拋物線y²=8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．
（1）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（2）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的標準方程，可求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到結論．

解答：（1）解：設拋物線C：y²=2px（p＞0），則2p=8，從而p=4
因此焦點F（2，0），準線方程為x=-2；
（2）證明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C，D．

則由拋物線的定義，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴|FA|=

4

1-cosα

同理|FB|=

4

1+cosα

記直線m與AB的交點為E，則|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-

|FA|+|FB|

2

=

1

2

(|FA|-|FB|)=

4cosα

sin2α

∴|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

∴|FP|-|FP|cos2α=

4

sin2α

（1-cos2α）=8．

點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．