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下列不等式
①已知a>0,b>0,則(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4

②a2+b2+3>2a+2b;
③已知m>0,則
b
a
b+m
a+m

3
+
7
<2
5

其中恒成立的是
 
.(把所有成立不等式的序號都填上)
分析:①乘積展開,利用基本不等式判斷正誤;②直接利用基本不等式判斷即可;③利用化學溶液濃度判斷正誤;④利用分析法證明即可.
解答:解:①已知a>0,b>0,則(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4
;因為(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥4
,所以正確;
②a2+b2+3>2a+2b;因為a2+b2+1+1+1≥2a+2b+1>2a+2b;正確;
③已知m>0,則
b
a
b+m
a+m
;化學溶液濃度可知在溶液中再加入溶質,濃度變大,正確;
3
+
7
<2
5
.因為
21
<5
所以3+7+2
21
<4×5
即:
3
+
7
<2
5
正確;
故答案為:①②③④
點評:本題是基礎題,考查基本不等式的應用,分析法證明問題的思想,常考題型.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
x
x2+1

(1)求出函數y=f(x)的單調區間;
(2)當x∈(-
3
4
,+∞)
時,證明函數y=f(x)圖象在點(
1
3
3
10
)
處切線的下方;
(3)利用(2)的結論證明下列不等式:“已知a,b,c∈(-
3
4
,+∞)
,且a+b+c=1,證明:
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
9
10
”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數,且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值.(只指出正確結論,不要求證明)

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科目:高中數學 來源:成功之路·突破重點線·數學(學生用書) 題型:013

已知函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β為方程f(x)=x的兩根,且0<α<β<,0<x<a,給出下列不等式:

①x<f(x) ②a<f(x) ③x>f(x) ④a>f(x)

其中成立的是

[  ]

A.①④
B.②③
C.①②
D.③④

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科目:高中數學 來源: 題型:022

有下列命題:

①已知ab為實數,若a24b0,則x2axb0有非空實數解集.

②當2m10時,如果0,那么m>-4

③若ab是整數,則關于x的方程x2axb0有兩整數根.

④若ab都不是整數,則方程x2axb0無兩整數根.

⑤當2m10時,如果m≤-4,則0

⑥已知ab為實數,若x2axb0有非空實數解,則a24b0

⑦若方程x2axb0沒有兩整數根,則a不是整數或b不是整數.

⑧已知ab為實數,若a24b0,則關于x的不等式x2axb0的解集為空集.

⑨當2m10時,如果m>-4,則0

用序號表示上述命題間的關系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:022

有下列命題:

①已知ab為實數,若a24b0,則x2axb0有非空實數解集.

②當2m10時,如果0,那么m>-4

③若ab是整數,則關于x的方程x2axb0有兩整數根.

④若ab都不是整數,則方程x2axb0無兩整數根.

⑤當2m10時,如果m≤-4,則0

⑥已知ab為實數,若x2axb0有非空實數解,則a24b0

⑦若方程x2axb0沒有兩整數根,則a不是整數或b不是整數.

⑧已知ab為實數,若a24b0,則關于x的不等式x2ax+b0的解集為空集.

⑨當2m10時,如果m>-4,則0

用序號表示上述命題間的關系(例(1)與(9)互為逆否命題):其中(1___________是互為逆命題;(2___________互為否命題;(3___________互為逆否命題

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年江蘇省淮安市清江中學高二(上)期末數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數
(1)求出函數y=f(x)的單調區間;
(2)當時,證明函數y=f(x)圖象在點處切線的下方;
(3)利用(2)的結論證明下列不等式:“已知,且a+b+c=1,證明:”;
(4)已知a1,a2,…,an是正數,且a1+a2+…+an=1,借助(3)的證明猜想的最大值.(只指出正確結論,不要求證明)

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