Question

【題目】四棱錐中， 面，底面是菱形，且， ，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)， 為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）;（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用三垂線(xiàn)定理結(jié)合即可證得；

(2)首先寫(xiě)出二面角的平面角，最后利用余弦定理列出方程求解QB的長(zhǎng)度即可；

(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐的體積，其中公共的底為△POQ,高的總長(zhǎng)度為AC的長(zhǎng)，則體積公式為：

試題解析：

（1）由題意知直線(xiàn)在面上的射影為,

又菱形中，由三垂線(xiàn)定理知.

（2）和都是以為底的等腰三角形，設(shè)和的交點(diǎn)為,

連接，則是二面角的平面角，

由知，二面角大于，

所以點(diǎn)與點(diǎn)在平面的同側(cè)，如圖所示.

則是二面角的平面角，故.

在中， ，設(shè)，則中， ，

在直角梯形中， ，

在中，由余弦定理得，故且，

解得，即.

（3）由（2）知： ， ，

且面，∴.