Question

已知拋物線C：y=x²+4x+，過C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．

　　(1)若C在點(diǎn)M法線的斜率為-，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x₀，y₀)；

　　(2)設(shè)P(-2，a)為C對稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)函數(shù)y=x2+4x+的導(dǎo)數(shù)y′=2x+4 　　C上點(diǎn)(x0，y0)處切線的斜率k0=2x0+4 　　因?yàn)檫^點(diǎn)(x0，y0)的法線斜率為- 　　所以-(2x0+4)=-1 　　解得x0=-l，y0= 　　故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-l，) 　　(2)設(shè)M(x0，y0)為C上一點(diǎn) 　　①若x0=-2，則C上點(diǎn)M(-2，)處的切線斜率k=0，過點(diǎn)M(-2，)的法線方程為x=-2，此法線過點(diǎn)P(-2，a)． 　　②若x0≠-2，則過點(diǎn)M(x0，y0)的法線方程為y-y0=(x-x0)　　　　　　　① 　　若法線過P(-2，a)，則a-y0=(-2-x0) 　　即(x0+2)2=a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　若a＞0，則x0=-2±，從而 　　y0=+4x0+= 　　將上式代入①，化簡得 　　x+2y+2-2a=0 　　x-2y+2+2a=0 　　若a=0，則與x0≠-2矛盾 　　若a＜0，則②式無解 　　綜上，當(dāng)a＞0時，在C上有三個點(diǎn)(，)，(，)及(-2，)．在這三點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(-2，a)，其方程分別是 　　x+2y+2-2a=0 　　x-2y+2+2a=0 　　x=-2 　　當(dāng)a≤0時，在C上有一個點(diǎn)(-2，)，在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)P(-2，a)，其方程為 　　x=-2