Question

某化工廠生產某種產品，每件產品的生產成本是3元，根據市場調查，預計每件產品的出廠價為x元（7≤x≤10）時，一年的產量為（11-x）²萬件．但為了保護環境，用于污染治理的費用與產量成正比，比例系數為常數a（1≤a≤3）．若該企業所生產的產品全部銷售．
（1）求該企業一年的利潤L（x）與出廠價x的函數關系式；
（2）當每件產品的出廠價定為多少元時，企業一年的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

【答案】分析：（1）利潤函數L（x）=一件產品的利潤×一年的產量-污染治理費用，代入整理即可；
（2）對利潤函數求導，得L′（x），令L′（x）=0，解得x的值，由a的取值討論L（x）在定義域上的增減性，從而得L（x）的最大值，即年利潤最大．
解答：解：（1）依題意，利潤函數L（x）=一件產品的利潤×一年的產量-污染治理費用，
代入數據得：
利潤函數L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（2）對利潤函數求導，得L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x）（17+2a-3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x=；
因為1≤a≤3，所以≤≤；
所以，①當≤≤7，即1≤a≤2時，L′（x）在[7，10]上恒為負，則L（x）在[7，10]上為減函數，
所以[L（x）]max=L（7）=16（4-a）
②當7＜≤，即2＜a≤3時，L′（x）在（7，）上為正，L（x）是增函數；L′（x）在（，10]上為負，L（x）是減函數，所以[L（x）]max=L（）=（8-a）³．
即當1≤a≤2時，則每件產品出廠價為7元時，年利潤最大，為16（4-a）萬元．
當2＜a≤3時，則每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為（8-a）³萬元．
點評：本題考查了利潤函數模型的應用，也考查了用導數法求三次函數在其定義域上的最值問題，含有參數的不等式解集問題等，屬于較難的題目．