Question

設P：關于x的y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數．Q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值圍．

Answer 1

分析：由函數y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數可得P；由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立，結合二次函數的性質可求Q，而P和Q有且僅有一個正確即是①P正確而Q不正確，②Q正確而P不正確，兩種情況可求a的范圍

解答：解：由函數y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的減函數可得，0＜a＜1
即使P正確的a的取值范圍是：0＜a＜1（2分）
由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當a=0時，ax²-x+a=-x不能對一切實數恒大于0．
（2）當a≠0時，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

故Q正確：a＞

1

2

（4分）
①若P正確而Q不正確，則

0＜a＜1 a≤ 1 2

即0＜a≤

1

2

，（6分）
②若Q正確而P不正確，則

a＞ 1 2 a＞1

即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范圍是：0＜a≤

1

2

或a＞1（10分）

點評：本題主要考查了復合命題的真假判斷的應用，解題的關鍵是熟練利用函數的性質準確求出使得P，Q正確的所對應的a的范圍．